В3. Три шара имеют радиусы r1= 3 см, r2=4 см и r3=5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме объемов этих трёх шаров

Решение:

1. Формула объёма шара: \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \).

2. Объём первого шара:

\( V_1 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \) см³.

3. Объём второго шара:

\( V_2 = \frac{4}{3}\pi (4)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi \) см³.

4. Объём третьего шара:

\( V_3 = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi \) см³.

5. Суммарный объём трёх шаров:

\( V_{\text{общ}} = V_1 + V_2 + V_3 = 36\pi + \frac{256}{3}\pi + \frac{500}{3}\pi = \frac{108\pi + 256\pi + 500\pi}{3} = \frac{864\pi}{3} = 288\pi \) см³.

6. Пусть \( R \) — радиус шара, объём которого равен сумме объёмов трёх шаров. Тогда:

\( V_{\text{общ}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \)

\( 288\pi = \frac{4}{3}\pi R^3 \)

7. Найдем \( R^3 \):

\( R^3 = \frac{288\pi \cdot 3}{4\pi} = 72 \cdot 3 = 216 \)

8. Найдем \( R \):

\( R = \sqrt[3]{216} = 6 \) см.

Ответ: 6 см.