В3. Три шара имеют радиусы r1 = 3 см, r2 = 4 см и r3 = 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме объемов этих трёх шаров

Решение:

Объем шара рассчитывается по формуле: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \).

Найдем объемы трех шаров:

\( V_1 = \frac{4}{3}\pi (3^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \text{ см}^3 \)

\( V_2 = \frac{4}{3}\pi (4^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3 \)

\( V_3 = \frac{4}{3}\pi (5^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi \text{ см}^3 \)

Общий объем равен сумме объемов:

\( V_{\text{общий}} = V_1 + V_2 + V_3 = 36\pi + \frac{256}{3}\pi + \frac{500}{3}\pi \)

Приведем к общему знаменателю:

\( V_{\text{общий}} = \frac{108}{3}\pi + \frac{256}{3}\pi + \frac{500}{3}\pi = \frac{108 + 256 + 500}{3}\pi = \frac{864}{3}\pi = 288\pi \text{ см}^3 \)

Теперь найдем радиус шара, объем которого равен \( V_{\text{общий}} \):

\[ \frac{4}{3}\pi R^3 = 288\pi \]

Разделим обе части на \( \pi \):

\[ \frac{4}{3} R^3 = 288 \]

Умножим обе части на \( \frac{3}{4} \):

\[ R^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 72 \times 3 = 216 \]

Найдем кубический корень из 216:

\[ R = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ см} \]

Ответ: 6 см.