В8. Найдите наибольшее значение функции y = -x³ - 3x² + 24x - 4 на отрезке [-5; 1].

Решение:

1. Найдем производную функции:
   \( y' = -3x^2 - 6x + 24 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( -3x^2 - 6x + 24 = 0 \)
   Разделим на -3:
   \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \)
   Корни:
   \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
   \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
4. Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -4 \).
5. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок [-5; 1].
   \( x = 2 \) не попадает в отрезок.
   \( x = -4 \) попадает в отрезок.
6. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей в отрезок:
   \( y(-5) = -(-5)^3 - 3(-5)^2 + 24(-5) - 4 = -(-125) - 3(25) - 120 - 4 = 125 - 75 - 120 - 4 = 50 - 124 = -74 \)
   \( y(1) = -(1)^3 - 3(1)^2 + 24(1) - 4 = -1 - 3 + 24 - 4 = 20 - 4 = 16 \)
   \( y(-4) = -(-4)^3 - 3(-4)^2 + 24(-4) - 4 = -(-64) - 3(16) - 96 - 4 = 64 - 48 - 96 - 4 = 16 - 100 = -84 \)
7. Сравним полученные значения: -74, 16, -84. Наибольшее значение — 16.

Ответ: 16.