В8. Найдите наибольшее значение функции y = -x³-3x²+24x-4 на отрезке [-5;1].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = -3x^2 - 6x + 24 \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( -3x^2 - 6x + 24 = 0 \).
3. Разделим уравнение на -3: \( x^2 + 2x - 8 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \).
5. Корни уравнения: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2+6}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2-6}{2} = -4 \).
6. Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -4 \).
7. Из этих точек в отрезок [-5;1] попадает только \( x = -4 \).
8. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   • \( y(-5) = -(-5)^3 - 3(-5)^2 + 24(-5) - 4 = 125 - 3(25) - 120 - 4 = 125 - 75 - 120 - 4 = -74 \)
   • \( y(-4) = -(-4)^3 - 3(-4)^2 + 24(-4) - 4 = 64 - 3(16) - 96 - 4 = 64 - 48 - 96 - 4 = -84 \)
   • \( y(1) = -(1)^3 - 3(1)^2 + 24(1) - 4 = -1 - 3 + 24 - 4 = 16 \)
9. Наибольшее значение функции на отрезке [-5;1] равно 16.

Ответ: 16.