Вариант 2. Задача 2: К окружности с центром O проведена касательная AB (A - точка касания). Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и \(\angle ABO = 30^\circ\).

Так как \(AB\) - касательная, а \(OA\) - радиус, проведенный в точку касания, то \(OA \perp AB\). Следовательно, \(\triangle OAB\) - прямоугольный, с прямым углом \(\angle OAB\). Рассмотрим прямоугольный \(\triangle OAB\). Мы знаем, что \(OB = 10\) см (гипотенуза) и \(\angle ABO = 30^\circ\). Нам нужно найти \(OA\) (катет, противолежащий углу \(\angle ABO\)). Используем соотношение между катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике: \(\sin(\angle ABO) = \frac{OA}{OB}\) \(\sin(30^\circ) = \frac{OA}{10}\) Так как \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), то: \(\frac{1}{2} = \frac{OA}{10}\) \(OA = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) см. Ответ: \(OA = 5\) см