Вариант 1. Задача 3: В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что \(\angle BAC = \angle BAD\) (рис. 63). Докажите, что \(AC = AD\).

Рассмотрим окружность с центром \(O\), диаметром \(AB\), и хордами \(AC\) и \(AD\), где \(\angle BAC = \angle BAD\). Доказательство: 1. Проведём радиусы \(OC\) и \(OD\). 2. Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle AOD\). * \(AO\) - общая сторона. * \(OC = OD\) (радиусы окружности). * \(\angle BAC = \angle BAD\) (дано). 3. Так как углы \(\angle BAC\) и \(\angle BAD\) равны, и они опираются на хорды \(AC\) и \(AD\) соответственно, то дуги \(AC\) и \(AD\) также равны (равные вписанные углы опираются на равные дуги). 4. В окружности равные дуги стягивают равные хорды. Следовательно, \(AC = AD\). Что и требовалось доказать.