Вариант 1. 1. Решите неравенство: \(\frac{x+3}{5} - \frac{x^2-4}{8} < 6;\)

Решение:

Приведём дробные выражения к общему знаменателю, равному 40:

\(\frac{8(x+3)}{40} - \frac{5(x^2-4)}{40} < \frac{240}{40}\)

Умножим обе части неравенства на 40:

\(8(x+3) - 5(x^2-4) < 240\)

Раскроем скобки:

\(8x + 24 - 5x^2 + 20 < 240\)

Перенесём все члены в левую часть:

\(-5x^2 + 8x + 44 - 240 < 0\)

\(-5x^2 + 8x - 196 < 0\)

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

\(5x^2 - 8x + 196 > 0\)

Найдём дискриминант квадратного трёхчлена \(5x^2 - 8x + 196\):

\[D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 196 = 64 - 3920 = -3856\]

Так как \(D < 0\) и коэффициент при \(x^2\) (равный 5) положительный, то парабола \(y = 5x^2 - 8x + 196\) всегда находится выше оси \(Ox\). Следовательно, \(5x^2 - 8x + 196 > 0\) для всех действительных значений \(x\).

Ответ: x \(\in\) \((-\infty; +\infty)\).