Вариант 2. 2. Найдите целые решения неравенства: \(2x^2 + 8x \le 0; \ 6x^2 - 7x + 2 \le 0.\)

Решение:

Решим первое неравенство \(2x^2 + 8x \le 0\):

Вынесем \(2x\) за скобки: \(2x(x+4) \le 0\).

Корни уравнения \(2x(x+4) = 0\) равны \(x=0\) и \(x=-4\).

Метод интервалов показывает, что \(2x^2 + 8x \le 0\) при \(x \in [-4; 0]\).

Решим второе неравенство \(6x^2 - 7x + 2 \le 0\):

Найдем корни квадратного уравнения \(6x^2 - 7x + 2 = 0\) через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1\]

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{12}\]

\[x_1 = \frac{7+1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]

\[x_2 = \frac{7-1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, ветви параболы \(y = 6x^2 - 7x + 2\) направлены вверх. Неравенство \(6x^2 - 7x + 2 \le 0\) выполняется при \(x \in [\frac{1}{2}; \frac{2}{3}]\).

Теперь найдём пересечение решений обоих неравенств:

\[[-4; 0]\) \(\cap\) \([\frac{1}{2}; \frac{2}{3}]\) = \(\emptyset\).

Следовательно, целых решений нет.

Ответ: Целых решений нет.