Вариант 1. 2. Найдите целые решения неравенства: \(x^2 + 6x \le 0; \ -6x^2 + 13x-5 \ge 0.\)

Решение:

Решим первое неравенство \(x^2 + 6x \le 0\):

Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x+6) \le 0\).

Корни уравнения \(x(x+6) = 0\) равны \(x=0\) и \(x=-6\).

Метод интервалов показывает, что \(x^2 + 6x \le 0\) при \(x \in [-6; 0]\).

Решим второе неравенство \(-6x^2 + 13x-5 \ge 0\):

Умножим на -1, изменив знак неравенства: \(6x^2 - 13x + 5 \le 0\).

Найдём корни квадратного уравнения \(6x^2 - 13x + 5 = 0\) через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49\]

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 7}{12}\]

\[x_1 = \frac{13+7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\]

\[x_2 = \frac{13-7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, ветви параболы \(y = 6x^2 - 13x + 5\) направлены вверх. Неравенство \(6x^2 - 13x + 5 \le 0\) выполняется при \(x \in [\frac{1}{2}; \frac{5}{3}]\).

Теперь найдём пересечение решений обоих неравенств:

\([-6; 0]\) \(\cap\) \([\frac{1}{2}; \frac{5}{3}]\) = \(\emptyset\).

Следовательно, целых решений нет.

Ответ: Целых решений нет.