Вариант 2. 3. Найдите область определения функции: \(y = \sqrt{x^2 - 2x - 48}\).

Решение:

Область определения функции \(y = \sqrt{x^2 - 2x - 48}\) находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[x^2 - 2x - 48 \ge 0\]

Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 2x - 48 = 0\):

\[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196\]

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 14}{2}\]

\[x_1 = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8\]

\[x_2 = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола \(y = x^2 - 2x - 48\) направлена ветвями вверх. Неравенство \(x^2 - 2x - 48 \ge 0\) выполняется при \(x \le -6\) или \(x \ge 8\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -6] \cup [8; +\infty)\).