Вариант 2. 1) \(\frac{x^2+x}{2} - \frac{8x-1}{3} \le -2;\)

Решение:

Приведём дробные выражения к общему знаменателю, равному 6:

\[\frac{3(x^2+x)}{6} - \frac{2(8x-1)}{6} \le \frac{-12}{6}\]

Умножим обе части неравенства на 6:

\[3(x^2+x) - 2(8x-1) \le -12\]

Раскроем скобки:

\[3x^2 + 3x - 16x + 2 \le -12\]

Перенесём все члены в левую часть:

\[3x^2 - 13x + 2 + 12 \le 0\]

\[3x^2 - 13x + 14 \le 0\]

Найдем корни квадратного уравнения \(3x^2 - 13x + 14 = 0\) через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1\]

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 1}{6}\]

\[x_1 = \frac{13+1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}\]

\[x_2 = \frac{13-1}{6} = \frac{12}{6} = 2\]

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола \(y = 3x^2 - 13x + 14\) направлена ветвями вверх. Неравенство \(3x^2 - 13x + 14 \le 0\) выполняется при \(x \in [2; \frac{7}{3}]\).

Ответ: \(x \in [2; \frac{7}{3}]\).