Вариант 1. 3. Найдите область определения функции: \(y = \sqrt{x^2 + 3x - 40}\).

Решение:

Область определения функции \(y = \sqrt{x^2 + 3x - 40}\) находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[x^2 + 3x - 40 \ge 0\]

Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 40 = 0\):

\[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169\]

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 13}{2}\]

\[x_1 = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

\[x_2 = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8\]

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола \(y = x^2 + 3x - 40\) направлена ветвями вверх. Неравенство \(x^2 + 3x - 40 \ge 0\) выполняется при \(x \le -8\) или \(x \ge 5\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -8] \cup [5; +\infty)\).