Вариант 1. 2. На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка K так, что AK = 4 см, KD = 5 см, BK = 12 см. Диагональ BD равна 13 см. а) Докажите, что треугольник BKD прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника ABK и параллелограмма ABCD.

а) В треугольнике BKD стороны равны BK = 12 см, KD = 5 см, BD = 13 см.

Проверим обратную теорему Пифагора: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\). Значит, треугольник BKD прямоугольный, причём прямой угол находится при K.

б) Так как BK ⟂ AD, отрезок BK является высотой к основанию AK треугольника ABK. Тогда \(S_{ABK}=\frac12\cdot4\cdot12=24\) см².

Основание параллелограмма \(AD=AK+KD=4+5=9\) см, а его высота равна BK = 12 см. Поэтому \(S_{ABCD}=9\cdot12=108\) см².

Ответ: а) треугольник BKD прямоугольный при K; б) 24 см² и 108 см².