Вариант 2. 2. В трапеции ABCD ∠A = ∠B = 90°, AB = 8 см, BC = 4 см, CD = 10 см. Найдите: а) площадь треугольника ACD; б) площадь трапеции ABCD.

Поскольку углы A и B прямые, основания AD и BC перпендикулярны AB, то есть AD ∥ BC. Высота трапеции равна AB = 8 см.

Разность оснований равна горизонтальной проекции стороны CD. По теореме Пифагора эта проекция должна быть \(\sqrt{CD^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\) см. Следовательно, длина большего основания AD должна быть \(BC+6=10\) см.

Тогда площадь треугольника ACD была бы \(\frac12\cdot AD\cdot AB=\frac12\cdot10\cdot8=40\) см², а площадь трапеции — \(\frac{AD+BC}{2}\cdot AB=\frac{10+4}{2}\cdot8=56\) см².

Однако при этих основаниях и высоте диагональ CD должна иметь длину \(\sqrt{6^2+8^2}=10\) см, то есть данные согласуются только если AD больше BC на 6 см. В стандартной разметке трапеции ABCD с прямыми углами A и B это действительно так.

Ответ: а) 40 см²; б) 56 см².