Вариант 1. 4. Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Расстояние от точки O до прямой AB равно 6 см, ∠AOC = 90°, ∠OBC = 15°. Найдите: а) угол ABO; б) радиус окружности.

Так как OB = OC, треугольник BOC равнобедренный. Поэтому ∠OCB = ∠OBC = 15°, а \(\angle BOC=180°-15°-15°=150°\).

Центральные углы вокруг O в сумме дают 360°, следовательно, меньший угол AOB равен \(360°-90°-150°=120°\). В равнобедренном треугольнике AOB углы при основании равны: \(\angle ABO=(180°-120°)/2=30°\).

Перпендикуляр из O к хорде AB делит хорду и центральный угол AOB пополам. В образовавшемся прямоугольном треугольнике расстояние от O до AB равно \(R\cos60°=R/2\). Значит, \(R/2=6\), откуда \(R=12\) см.

Ответ: а) 30°; б) 12 см.