Вариант 2. 4. В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность с центром O, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках D, E, F соответственно. Известно, что OC = 2√2 см. Найдите: а) радиус окружности; б) углы EOF и EDF.

Поскольку окружность касается обеих сторон прямого угла C, её центр O находится на биссектрисе этого угла. В прямоугольном равнобедренном треугольнике с катетами, равными радиусу r, получаем \(OC=r\sqrt2\). Поэтому \(r\sqrt2=2\sqrt2\), откуда r = 2 см.

Радиусы OE и OF перпендикулярны сторонам BC и CA. Угол между ними равен \(\angle EOF=90°\).

Угол EDF — вписанный угол, опирающийся на дугу EF. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 90°, поэтому \(\angle EDF=90°/2=45°\).

Ответ: а) 2 см; б) ∠EOF = 90°, ∠EDF = 45°.