Вариант 1. 3. ABCD — равнобедренная трапеция. Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне. Известно, что боковая сторона в два раза меньше основания. Найдите углы трапеции.

Здесь не указано, какое именно основание имеется в виду. Если подразумевается меньшее основание, данные позволяют найти углы. Обозначим меньшее основание через \(a\), а проекцию боковой стороны на большее основание — через \(d\). Боковая сторона равна \(2a\). Из перпендикулярности диагонали и боковой стороны получается \(h^2=d(d+a)\), а из теоремы Пифагора — \(d^2+h^2=4a^2\). Следовательно, \(2d^2+ad=4a^2\), откуда \(d/a=(\sqrt{33}-1)/4\).

Тангенс острого угла при большем основании равен \(h/d\); подстановка найденного отношения даёт угол примерно \(53.1°\). Смежный с ним угол равен примерно \(126.9°\).

Если имеется в виду большее основание, условие невозможно: боковая сторона равна половине большего основания, тогда как в трапеции боковая сторона не меньше половины разности оснований; перпендикулярность диагонали с боковой стороной этому случаю не соответствует.

Ответ: при условии, что имеется в виду меньшее основание, углы приблизительно \(53.1°, 53.1°, 126.9°, 126.9°\). Уточните, какое основание указано в исходном условии.