Вариант 1. 4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.

Так как BD ⟂ AB, угол ABD равен 90°. В треугольнике ABD углы равны 30°, 60° и 90°, поэтому AD = 2AB, а BD = √3·AB.

Параллельными сторонами трапеции должны быть AD и BC: если бы AB ∥ CD, то BD, перпендикулярная AB, была бы перпендикулярна CD, что противоречит ∠BDC = 30°.

Из AD ∥ BC следует ∠DBC = ∠ADB = 30°. Значит, треугольник BCD имеет два угла по 30°, поэтому BC = CD. По теореме синусов в этом треугольнике BD = √3·CD; следовательно, CD = AB, а значит, BC = AB.

Периметр равен AD + AB + BC + CD = 2AB + AB + AB + AB = 5AB = 60. Поэтому AB = 12 см и AD = 24 см.

Ответ: 24 см.