Вариант 1. 5. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что A — B — K, D — C — P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂. M₁M₂ = 8 см. Найдите AD.

Пусть BC = AD = a, а единичный вектор вдоль BA равен e = (cos θ, sin θ). Возьмём B = (0, 0), C = (a, 0).

Направления биссектрис углов ABC и BCD пропорциональны соответственно e + (1, 0) и e − (1, 0). Их пересечение имеет координаты M₁ = (a(1 + cos θ)/2, a sin θ/2).

Так как K и P лежат на продолжениях AB и CD за B и C, направления биссектрис углов KBC и BCP пропорциональны (1, 0) − e и −(1, 0) − e. Их пересечение: M₂ = (a(1 − cos θ)/2, −a sin θ/2).

Тогда разность координат M₁ и M₂ равна (−a cos θ, −a sin θ), поэтому M₁M₂ = a = AD. Следовательно, AD = 8 см.

Ответ: 8 см.