Вариант 1. 4. Вычислите скалярное произведение векторов $\vec m$ и $\vec n$, если $\vec m=\vec a+2\vec b-\vec c$, $\vec n=2\vec a-\vec b$, $|\vec a|=2$, $|\vec b|=3$, угол между $\vec a$ и $\vec b$ равен $60^\circ$, $\vec c\perp\vec a$, $\vec c\perp\vec b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. 4. Вычислите скалярное произведение векторов $\vec m$ и $\vec n$, если $\vec m=\vec a+2\vec b-\vec c$,…$ Фото задания

Вариант 1. 4. Вычислите скалярное произведение векторов $\vec m$ и $\vec n$, если $\vec m=\vec a+2\vec b-\vec c$, $\vec n=2\vec a-\vec b$, $|\vec a|=2$, $|\vec b|=3$, угол между $\vec a$ и $\vec b$ равен $60^\circ$, $\vec c\perp\vec a$, $\vec c\perp\vec b$.

Accepted Answer

По формуле скалярного произведения $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos 60^\circ=2\cdot3\cdot\frac12=3$. Так как $\vec c$ перпендикулярен обоим векторам, произведения $\vec c\cdot\vec a$ и $\vec c\cdot\vec b$ равны нулю.

Раскроем скалярное произведение:

$\vec m\cdot\vec n=(\vec a+2\vec b-\vec c)\cdot(2\vec a-\vec b)=2|\vec a|^2+3(\vec a\cdot\vec b)-2|\vec b|^2$.

Подставим значения: $2\cdot 2^2+3\cdot3-2\cdot3^2=8+9-18=-1$.

Ответ: $\vec m\cdot\vec n=-1$.