Вариант 2. 4. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec m\) и \(\vec n\), если \(\vec m=2\vec a-\vec b+\vec c\), \(\vec n=\vec a-2\vec b\), \(|\vec a|=3\), \(|\vec b|=2\), угол между \(\vec a\) и \(\vec b\) равен \(60^\circ\), \(\vec c\perp\vec a\), \(\vec c\perp\vec b\).

Сначала найдём \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos60^\circ=3\cdot2\cdot\frac12=3\). Вектор \(\vec c\) перпендикулярен \(\vec a\) и \(\vec b\), поэтому его слагаемые в скалярном произведении дают ноль.

\(\vec m\cdot\vec n=(2\vec a-\vec b+\vec c)\cdot(\vec a-2\vec b)=2|\vec a|^2-5(\vec a\cdot\vec b)+2|\vec b|^2\).

Подставим значения: \(2\cdot3^2-5\cdot3+2\cdot2^2=18-15+8=11\).

Ответ: \(\vec m\cdot\vec n=11\).