Вариант 2. 5. Дан куб \(ABCD A_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(AC\) и \(DC_1\).

Обозначим ребро куба через \(a\) и зададим координаты: \(A(0;0;0)\), \(C(a;a;0)\), \(D(0;a;0)\), \(C_1(a;a;a)\).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AC}=(a;a;0)\), \(\overrightarrow{DC_1}=(a;0;a)\). Их скалярное произведение равно \(a^2\), а длина каждого вектора — \(a\sqrt2\).

Значит, косинус угла между прямыми равен \(\frac{a^2}{a\sqrt2\cdot a\sqrt2}=\frac12\), поэтому угол составляет \(60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).