Вариант 1. 5) Докажите, что если диагонали ромба равны, то он является квадратом.

Пусть в ромбе ABCD диагонали AC и BD равны.

1. В ромбе все стороны равны.
2. Диагонали ромба делят его углы пополам.
3. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и BOC, где O — точка пересечения диагоналей. Они имеют равные гипотенузы AB и BC и общий катет BO, поэтому равны.
4. Следовательно, \(\angle BAO=\angle OBC\). Эти углы являются половинами соседних углов ромба, сумма которых равна 180°, поэтому каждый из них равен 90°.
5. Ромб с прямым углом является прямоугольником. Четырёхугольник, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником, — квадрат.

Что и требовалось доказать.