Вариант 2. 5) Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Пусть ABCD — прямоугольник, его диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке O.

1. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам: \(OA=OC\), \(OB=OD\).
2. Так как \(AC\perp BD\), треугольники AOB и BOC прямоугольные.
3. У них равны катеты \(OB\) и \(OB\), а гипотенузы \(AB\) и \(BC\) являются сторонами прямоугольника.
4. Из свойства перпендикулярных диагоналей следует, что \(AB=BC\).
5. Прямоугольник с равными соседними сторонами является квадратом.

Что и требовалось доказать.