Вариант 1. 6. Высота BM, проведённая к стороне AD ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. Длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, ∠BMA = 90°. По условию ∠ABM = 30°, поэтому в прямоугольном треугольнике ABM сторона AM, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы AB.

Поскольку M лежит на продолжении AD, угол BAD тупой; из перпендикулярности BM и AD и условия ∠ABM = 30° следует ∠BAD = 120°. Диагональ AC ромба при таком угле равна стороне: AC² = AB² + AD² + 2·AB·AD·cos 120° = AB². Поэтому AB = AC = 6 см, и AM = AB / 2 = 3 см.

Ответ: 3 см.