Вариант 1: Решите неравенство: 1) cos5x < 1/2; 2) tg(5x - π/3) ≥ -√3/3.

Решение:

1) cos5x < 1/2

• Находим решения уравнения cos(5x) = 1/2. Это 5x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z.
• Отсюда, x = ±π/15 + 2πn/5, n ∈ Z.
• На единичной окружности промежутки, где косинус меньше 1/2, находятся между π/3 и 5π/3 (или -π/3).
• Следовательно, 2πn - π/3 < 5x < 2πn + π/3, n ∈ Z.
• Делим все части на 5: 2πn/5 - π/15 < x < 2πn/5 + π/15, n ∈ Z.

2) tg(5x - π/3) ≥ -√3/3

• Находим решения уравнения tg(5x - π/3) = -√3/3. Это 5x - π/3 = -π/6 + πk, k ∈ Z.
• 5x = π/3 - π/6 + πk, k ∈ Z
• 5x = π/6 + πk, k ∈ Z
• x = π/30 + πk/5, k ∈ Z.
• На единичной окружности промежутки, где тангенс больше или равен -√3/3, начинаются от -π/6 и идут до π/2 (не включая π/2).
• Следовательно, -π/6 + πk ≤ 5x - π/3 < π/2 + πk, k ∈ Z.
• Прибавляем π/3 ко всем частям: π/3 - π/6 + πk ≤ 5x < π/2 + π/3 + πk, k ∈ Z.
• π/6 + πk ≤ 5x < 5π/6 + πk, k ∈ Z.
• Делим все части на 5: π/30 + πk/5 ≤ x < 5π/30 + πk/5, k ∈ Z.
• π/30 + πk/5 ≤ x < π/6 + πk/5, k ∈ Z.

Ответ:

• 1) x ∈ (2πn/5 - π/15; 2πn/5 + π/15), n ∈ Z
• 2) x ∈ [π/30 + πk/5; π/6 + πk/5), k ∈ Z