Вариант 1: Решите уравнение: 1) 3cos²x + 7sinx - 5 = 0; 2) 2sin²x + 1,5sin 2x - 3cos²x = 1; 3) sin 8x + sin 10x + cosx = 0.

Решение:

1) 3cos²x + 7sinx - 5 = 0

• Заменим cos²x на 1 - sin²x:
• 3(1 - sin²x) + 7sinx - 5 = 0
• 3 - 3sin²x + 7sinx - 5 = 0
• -3sin²x + 7sinx - 2 = 0
• 3sin²x - 7sinx + 2 = 0
• Пусть t = sinx. Тогда 3t² - 7t + 2 = 0.
• D = (-7)² - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25.
• t₁ = (7 + 5) / (2 * 3) = 12 / 6 = 2.
• t₂ = (7 - 5) / (2 * 3) = 2 / 6 = 1/3.
• Так как sinx ≤ 1, то sinx = 2 не имеет решений.
• sinx = 1/3
• x = arcsin(1/3) + 2πn, n ∈ Z
• x = π - arcsin(1/3) + 2πk, k ∈ Z

2) 2sin²x + 1,5sin 2x - 3cos²x = 1

• Используем формулу sin 2x = 2sinxcosx и основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1.
• 2sin²x + 1,5(2sinxcosx) - 3cos²x = sin²x + cos²x
• 2sin²x + 3sinxcosx - 3cos²x = sin²x + cos²x
• sin²x + 3sinxcosx - 4cos²x = 0
• Разделим обе части на cos²x (предполагая, что cosx ≠ 0. Если cosx = 0, то sin²x = 1. Подставляя в исходное уравнение: 2(1) + 1,5(0) - 3(0) = 1, что верно. Значит, x = π/2 + πn является решением).
• tg²x + 3tgx - 4 = 0
• Пусть y = tgx. Тогда y² + 3y - 4 = 0.
• (y + 4)(y - 1) = 0
• y₁ = 1, y₂ = -4.
• Случай 1: tgx = 1
• x = π/4 + πn, n ∈ Z
• Случай 2: tgx = -4
• x = arctg(-4) + πk, k ∈ Z
• Учитывая, что x = π/2 + πn также является решением.

3) sin 8x + sin 10x + cosx = 0

• Используем формулу суммы синусов: sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
• (sin 10x + sin 8x) + cosx = 0
• 2sin((10x+8x)/2)cos((10x-8x)/2) + cosx = 0
• 2sin(9x)cos(x) + cosx = 0
• cosx(2sin(9x) + 1) = 0
• Это означает, что либо cosx = 0, либо 2sin(9x) + 1 = 0.
• Случай 1: cosx = 0
• x = π/2 + πn, n ∈ Z
• Случай 2: 2sin(9x) + 1 = 0
• sin(9x) = -1/2
• 9x = (-1)^k+1 arcsin(1/2) + πk, k ∈ Z
• 9x = (-1)^k+1 (π/6) + πk, k ∈ Z
• x = (-1)^k+1 (π/54) + πk/9, k ∈ Z

Ответ:

• 1) x = arcsin(1/3) + 2πn, n ∈ Z; x = π - arcsin(1/3) + 2πk, k ∈ Z
• 2) x = π/4 + πn, n ∈ Z; x = arctg(-4) + πk, k ∈ Z; x = π/2 + πn, n ∈ Z
• 3) x = π/2 + πn, n ∈ Z; x = (-1)^k+1 (π/54) + πk/9, k ∈ Z