Вариант 1: Решите уравнение: 1) sin 4x = -√2/2; 2) cos(x/2 - π/8) = 0; 3) cos3x + cos5x = 0.

Решение:

1) sin 4x = -√2/2

• Общее решение уравнения sin(α) = -sin(β) имеет вид: α = (-1)ⁿ⁺¹ arcsin(sin(β)) + πn, где n ∈ Z.
• sin 4x = -sin(π/4)
• 4x = (-1)ⁿ⁺¹ (-π/4) + πn, n ∈ Z
• 4x = (-1)ⁿ (π/4) + πn, n ∈ Z
• x = (-1)ⁿ (π/16) + πn/4, n ∈ Z

2) cos(x/2 - π/8) = 0

• Общее решение уравнения cos(α) = 0 имеет вид: α = π/2 + πk, где k ∈ Z.
• x/2 - π/8 = π/2 + πk, k ∈ Z
• x/2 = π/2 + π/8 + πk, k ∈ Z
• x/2 = 5π/8 + πk, k ∈ Z
• x = 5π/4 + 2πk, k ∈ Z

3) cos3x + cos5x = 0

• Используем формулу суммы косинусов: cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
• 2cos((3x+5x)/2)cos((3x-5x)/2) = 0
• 2cos(4x)cos(-x) = 0
• cos(4x)cos(x) = 0
• Это означает, что либо cos(4x) = 0, либо cos(x) = 0.
• Случай 1: cos(4x) = 0
• 4x = π/2 + πn, n ∈ Z
• x = π/8 + πn/4, n ∈ Z
• Случай 2: cos(x) = 0
• x = π/2 + πk, k ∈ Z

Ответ:

• 1) x = (-1)ⁿ (π/16) + πn/4, n ∈ Z
• 2) x = 5π/4 + 2πk, k ∈ Z
• 3) x = π/8 + πn/4, n ∈ Z; x = π/2 + πk, k ∈ Z