Вариант 1: Решите уравнение sin 2x + √3 cos2x = 2cos6x.

Решение:

Левую часть уравнения можно представить в виде Rsin(2x + α).

R = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.

sin(2x + α) = sin2x cosα + cos2x sinα.

cosα = 1/2, sinα = √3/2. Следовательно, α = π/3.

Уравнение принимает вид:

2sin(2x + π/3) = 2cos6x

sin(2x + π/3) = cos6x

Используем формулу приведения cos(θ) = sin(π/2 - θ).

sin(2x + π/3) = sin(π/2 - 6x)

Теперь у нас два случая:

Случай 1:

2x + π/3 = π/2 - 6x + 2πn, n ∈ Z

8x = π/2 - π/3 + 2πn, n ∈ Z

8x = π/6 + 2πn, n ∈ Z

x = π/48 + πn/4, n ∈ Z

Случай 2:

2x + π/3 = π - (π/2 - 6x) + 2πk, k ∈ Z

2x + π/3 = π - π/2 + 6x + 2πk, k ∈ Z

2x + π/3 = π/2 + 6x + 2πk, k ∈ Z

-4x = π/2 - π/3 + 2πk, k ∈ Z

-4x = π/6 + 2πk, k ∈ Z

4x = -π/6 - 2πk, k ∈ Z

x = -π/24 - πk/2, k ∈ Z

Ответ:

• x = π/48 + πn/4, n ∈ Z
• x = -π/24 - πk/2, k ∈ Z