Вариант 2: Решите уравнение: 1) cos6x = -√3/2; 2) sin(x/3 + π/6) = -1; 3) sin 5x + sin 7x = 0.

Решение:

1) cos6x = -√3/2

• Общее решение уравнения cos(α) = -√3/2 имеет вид: α = ±5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
• 6x = ±5π/6 + 2πn, n ∈ Z
• x = ±5π/36 + πn/3, n ∈ Z

2) sin(x/3 + π/6) = -1

• Общее решение уравнения sin(α) = -1 имеет вид: α = -π/2 + 2πk, k ∈ Z.
• x/3 + π/6 = -π/2 + 2πk, k ∈ Z
• x/3 = -π/2 - π/6 + 2πk, k ∈ Z
• x/3 = -3π/6 - π/6 + 2πk, k ∈ Z
• x/3 = -4π/6 + 2πk, k ∈ Z
• x/3 = -2π/3 + 2πk, k ∈ Z
• x = -2π + 6πk, k ∈ Z

3) sin 5x + sin 7x = 0

• Используем формулу суммы синусов: sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
• 2sin((5x+7x)/2)cos((5x-7x)/2) = 0
• 2sin(6x)cos(-x) = 0
• sin(6x)cos(x) = 0
• Это означает, что либо sin(6x) = 0, либо cos(x) = 0.
• Случай 1: sin(6x) = 0
• 6x = πn, n ∈ Z
• x = πn/6, n ∈ Z
• Случай 2: cos(x) = 0
• x = π/2 + πk, k ∈ Z

Ответ:

• 1) x = ±5π/36 + πn/3, n ∈ Z
• 2) x = -2π + 6πk, k ∈ Z
• 3) x = πn/6, n ∈ Z; x = π/2 + πk, k ∈ Z