Вариант 2: Решите неравенство: 1) sin x/6 > √3/2; 2) ctg(6x + π/6) ≥ -√3.

Решение:

1) sin x/6 > √3/2

• Находим решения уравнения sin(x/6) = √3/2. Это x/6 = π/3 + 2πn или x/6 = 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.
• Умножаем обе части на 6: x = 2π + 12πn или x = 4π + 12πn, n ∈ Z.
• На единичной окружности промежутки, где синус больше √3/2, находятся между π/3 и 2π/3.
• Следовательно, 2πn + π/3 < x/6 < 2πn + 2π/3, n ∈ Z.
• Умножаем все части на 6: 12πn + 2π < x < 12πn + 4π, n ∈ Z.

2) ctg(6x + π/6) ≥ -√3

• Находим решения уравнения ctg(6x + π/6) = -√3. Это 6x + π/6 = 5π/6 + πk, k ∈ Z.
• 6x = 5π/6 - π/6 + πk, k ∈ Z
• 6x = 4π/6 + πk, k ∈ Z
• 6x = 2π/3 + πk, k ∈ Z
• x = π/9 + πk/6, k ∈ Z.
• На единичной окружности промежутки, где котангенс больше или равен -√3, начинаются от 2π/3 (не включая 0 и π) и идут до 5π/6.
• Следовательно, πk + 2π/3 < 6x + π/6 ≤ πk + 5π/6, k ∈ Z.
• Вычитаем π/6 из всех частей: πk + 2π/3 - π/6 < 6x ≤ πk + 5π/6 - π/6, k ∈ Z.
• πk + 4π/6 - π/6 < 6x ≤ πk + 4π/6, k ∈ Z.
• πk + 3π/6 < 6x ≤ πk + 2π/3, k ∈ Z.
• πk + π/2 < 6x ≤ πk + 2π/3, k ∈ Z.
• Делим все части на 6: πk/6 + π/12 < x ≤ πk/6 + π/18, k ∈ Z.

Ответ:

• 1) x ∈ (12πn + 2π; 12πn + 4π), n ∈ Z
• 2) x ∈ (πk/6 + π/12; πk/6 + π/18], k ∈ Z