Вариант 2: Решите уравнение: 1) 4sin²x - 11cosx - 1 = 0; 2) 3sin²x - sin 2x - cos²x = 2.

Решение:

1) 4sin²x - 11cosx - 1 = 0

• Заменим sin²x на 1 - cos²x:
• 4(1 - cos²x) - 11cosx - 1 = 0
• 4 - 4cos²x - 11cosx - 1 = 0
• -4cos²x - 11cosx + 3 = 0
• 4cos²x + 11cosx - 3 = 0
• Пусть t = cosx. Тогда 4t² + 11t - 3 = 0.
• D = 11² - 4(4)(-3) = 121 + 48 = 169.
• t₁ = (-11 + 13) / (2 * 4) = 2 / 8 = 1/4.
• t₂ = (-11 - 13) / (2 * 4) = -24 / 8 = -3.
• Так как cosx ≥ -1, то cosx = -3 не имеет решений.
• cosx = 1/4
• x = ±arccos(1/4) + 2πn, n ∈ Z

2) 3sin²x - sin 2x - cos²x = 2

• Используем формулу sin 2x = 2sinxcosx и основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1.
• 3sin²x - 2sinxcosx - cos²x = 2(sin²x + cos²x)
• 3sin²x - 2sinxcosx - cos²x = 2sin²x + 2cos²x
• sin²x - 2sinxcosx - 3cos²x = 0
• Разделим обе части на cos²x (предполагая, что cosx ≠ 0. Если cosx = 0, то sin²x = 1. Подставляя в исходное уравнение: 3(1) - 2(0) - 0 = 2, что неверно. Значит, cosx ≠ 0).
• tg²x - 2tgx - 3 = 0
• Пусть y = tgx. Тогда y² - 2y - 3 = 0.
• (y - 3)(y + 1) = 0
• y₁ = 3, y₂ = -1.
• Случай 1: tgx = 3
• x = arctg(3) + πn, n ∈ Z
• Случай 2: tgx = -1
• x = -π/4 + πk, k ∈ Z

Ответ:

• 1) x = ±arccos(1/4) + 2πn, n ∈ Z
• 2) x = arctg(3) + πn, n ∈ Z; x = -π/4 + πk, k ∈ Z