Вариант 1, Задача 1: На рисунке 271 точка O – центр окружности, \angle AOC = 50°. Найдите угол BCO.

Решение:

• Так как O – центр окружности, то OA = OC = OB (радиусы).
• Рассмотрим треугольник AOC. Он равнобедренный, так как OA = OC. Угол BAC = угол BCA.
• Угол AOC – центральный, равен 50°. Угол ABC – вписанный, опирается на дугу AC. Угол ABC = 50° / 2 = 25°.
• Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, так как OB = OC. Угол OBC = угол OCB.
• Угол BOC = 180° - угол AOC = 180° - 50° = 130° (развернутый угол AOB, если AB – диаметр, но это не указано, поэтому рассматриваем как смежный угол).
• Важно: Из рисунка 271 неясно, является ли AB диаметром. Если считать, что A, O, C лежат на одной прямой, то это диаметр. Но из рисунка 271 видно, что A, O, B — радиусы.
• Предположим, что AB – диаметр. Тогда угол AOB – развернутый.
• Угол BOC = 180° - угол AOC = 180° - 50° = 130°.
• В равнобедренном треугольнике BOC: угол OBC = угол OCB = (180° - 130°) / 2 = 50° / 2 = 25°.
• Если AB – не диаметр, то из рисунка 271 мы видим, что OA = OB = OC (радиусы).
• В равнобедренном треугольнике AOC (OA=OC): \angle OAC = \angle OCA = (180° - 50°) / 2 = 130° / 2 = 65°.
• Угол BCO – это угол OCA.

Ответ: 65°