Вариант 2, Задача 1: На рисунке 280 точка O – центр окружности, \angle ABO = 40°. Найдите угол BOC.

Решение:

• Дано: O – центр окружности, \angle ABO = 40°.
• Найти: \angle BOC.
• 1. Так как O – центр окружности, то OA = OB (радиусы).
• 2. Треугольник ABO – равнобедренный (OA = OB).
• 3. Следовательно, углы при основании равны: \angle BAO = \angle ABO = 40°.
• 4. Сумма углов в треугольнике ABO равна 180°.
• 5. \angle AOB + \angle BAO + \angle ABO = 180°.
• 6. \angle AOB + 40° + 40° = 180°.
• 7. \angle AOB = 180° - 80° = 100°.
• 8. Угол BOC и угол AOB – смежные, так как AC – прямая (или диаметр, если C лежит на прямой AO). Из рисунка 280 видно, что AC - диаметр.
• 9. Следовательно, \angle BOC + \angle AOB = 180°.
• 10. \angle BOC = 180° - \angle AOB = 180° - 100° = 80°.
• Проверка:
• 1. Угол BOC – центральный угол.
• 2. Треугольник BOC – равнобедренный (OB = OC).
• 3. \angle OBC = \angle OCB = (180° - 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°.
• 4. Угол ABC = \angle ABO + \angle OBC = 40° + 50° = 90°.
• 5. Угол ABC – вписанный угол, опирающийся на диаметр AC, значит, он должен быть равен 90°. Это совпадает.

Ответ: 80°