Вариант 1, Задача 4: В окружности с центром в точке O провели диаметр AB и хорду BC так, что угол ABC равен 32°. Найдите градусную меру угла AOC.

Решение:

• Дано: AB – диаметр, \angle ABC = 32°.
• Найти: \angle AOC.
• 1. Так как AB – диаметр, то угол ACB – вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, \angle ACB = 90°.
• 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.
• 3. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• 4. \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°.
• 5. \angle BAC + 32° + 90° = 180°.
• 6. \angle BAC = 180° - 90° - 32° = 58°.
• 7. Угол AOC – центральный угол, который опирается на дугу AC.
• 8. Угол ABC – вписанный угол, который опирается на ту же дугу AC.
• 9. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
• 10. Дуга AC = 2 * \angle ABC = 2 * 32° = 64°.
• 11. Следовательно, \angle AOC = дуга AC = 64°.
• Альтернативный путь:
• 1. \angle BAC = 58°.
• 2. Угол BOC – центральный угол, опирающийся на дугу BC.
• 3. Угол BAC – вписанный угол, опирающийся на дугу BC.
• 4. Дуга BC = 2 * \angle BAC = 2 * 58° = 116°.
• 5. Угол BOC = 116°.
• 6. Угол AOC и угол BOC – смежные, так как AB – диаметр.
• 7. \angle AOC + \angle BOC = 180°.
• 8. \angle AOC = 180° - \angle BOC = 180° - 116° = 64°.

Ответ: 64°