Вариант 2, Задача 2: В окружности с центром O провели диаметры MN и PK (рис. 281). Докажите, что MK || PN.

Решение:

• Дано: MN и PK – диаметры окружности с центром O.
• Доказать: MK || PN.
• Доказательство:
• 1. Так как MN и PK – диаметры, проходящие через центр O, то точка O является серединой каждого диаметра.
• 2. Рассмотрим треугольники MOK и PON.
• 3. MO = PO = NO = KO = R (радиусы окружности).
• 4. Угол MOK = угол PON (как вертикальные углы).
• 5. По двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников), треугольник MOK равен треугольнику PON.
• 6. Следовательно, MK = PN (соответственные стороны равных треугольников).
• 7. Рассмотрим треугольники MOP и NOK.
• 8. MO = NO = KO = PO = R (радиусы окружности).
• 9. Угол MOP = угол NOK (как вертикальные углы).
• 10. По двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников), треугольник MOP равен треугольнику NOK.
• 11. Следовательно, MP = NK (соответственные стороны равных треугольников).
• 12. Теперь докажем параллельность MK || PN.
• 13. Рассмотрим треугольники MOK и PON. Мы уже доказали, что они равны.
• 14. Следовательно, \angle KMO = \angle PNO (соответственные углы равных треугольников).
• 15. Так как \angle KMO и \angle PNO являются накрест лежащими углами при прямых MK и PN и секущей MN, то MK || PN.
• Альтернативное доказательство:
• 1. Угол MKO = угол PKO = 90°, так как опираются на диаметр MN. (Это неверно, K может быть не на MN).
• 2. Угол MPN = 90°, так как опирается на диаметр MN.
• 3. Угол MKN = 90°, так как опирается на диаметр MN.
• 4. Угол PMK = 90°, так как опирается на диаметр PK.
• 5. Угол PNK = 90°, так как опирается на диаметр PK.
• 6. Рассмотрим дуги.
• 7. Так как MN и PK – диаметры, то дуга MP = дуга NK, и дуга MK = дуга PN.
• 8. Равные дуги стягиваются равными хордами, поэтому MK = PN и MP = NK.
• 9. Так как дуга MK = дуга PN, то и углы, опирающиеся на эти дуги, равны.
• 10. Угол MNK опирается на дугу MK.
• 11. Угол MPN опирается на дугу MN.
• 12. Угол MPK опирается на дугу MK.
• 13. Угол MNK опирается на дугу MK.
• 14. Угол MPK = Угол MNK (опираются на равные дуги MK = PN).
• 15. Угол PNM опирается на дугу PN.
• 16. Угол PKМ опирается на дугу PN.
• 17. Угол PNM = Угол PKМ (опираются на равные дуги PN = MK).
• 18. Рассмотрим углы KMP и PNM.
• 19. Угол KMP = 90° (опирается на диаметр PK).
• 20. Угол PNM = ?
• 21. Вернемся к равенству треугольников.
• 22. Треугольник MOK = Треугольник PON (по двум сторонам и углу между ними: MO=PO, OK=ON, \angle MOK = \angle PON).
• 23. Следовательно, MK = PN.
• 24. Треугольник MOP = Треугольник NOK (по двум сторонам и углу между ними: MO=NO, OP=OK, \angle MOP = \angle NOK).
• 25. Следовательно, MP = NK.
• 26. Также из равенства треугольников MOK и PON следует, что \angle OMK = \angle OPN.
• 27. Так как O лежит на MN, то \angle OMK = \angle KMN.
• 28. Так как O лежит на PK, то \angle OPN = \angle KPN.
• 29. Значит, \angle KMN = \angle KPN.
• 30. Эти углы являются накрест лежащими при прямых MK и PN и секущей PK.
• 31. Следовательно, MK || PN.

Доказано.