Вариант 1, Задача 2: Через концы диаметра AB окружности с центром O проведены параллельные хорды BC и AD (рис. 272). Докажите, что AD = BC.

Решение:

• Дано: AB – диаметр, BC || AD.
• Доказать: AD = BC.
• Доказательство:
• 1. Так как BC || AD, то дуги AC и BD равны (как углы, на которые опираются секущие, или как углы между параллельными хордами и секущими).
• 2. Если дуги равны, то и стягивающие их хорды равны. Следовательно, AD = BC.
• Альтернативное доказательство:
• 1. AB – диаметр.
• 2. BC || AD.
• 3. Проведем радиус OC и OD.
• 4. Рассмотрим треугольники BOC и AOD.
• 5. Угол BOC = углу AOD (как вертикальные, если CD – диаметр, но это не так).
• 6. Угол COB = углу DOA (как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AB).
• 7. Рассмотрим треугольники BOC и AOD. OA = OB = OC = OD (радиусы).
• 8. Треугольник BOC – равнобедренный (OB = OC).
• 9. Треугольник AOD – равнобедренный (OA = OD).
• 10. Угол OBC = угол OCB.
• 11. Угол OAD = угол ODA.
• 12. Так как BC || AD, то угол ABC = угол BAD (накрест лежащие).
• 13. В треугольнике BOC: угол BOC = 180° - 2 * угол OBC.
• 14. В треугольнике AOD: угол AOD = 180° - 2 * угол OAD.
• 15. Угол BAC = угол CAD (накрест лежащие).
• 16. Угол ABC = угол BAD.
• 17. Угол BAC = угол ABD.
• 18. Угол CAD = угол ACB.
• 19. Пусть угол BAC = α. Тогда угол ABC = α.
• 20. Угол CAD = угол ABD.
• 21. Угол ABC = угол OCB.
• 22. Угол BAD = угол OAD.
• 23. Угол ABC = угол OCB = угол OBC.
• 24. Угол BAD = угол OAD = угол ODA.
• 25. Угол COB = 180° - 2 * угол OBC.
• 26. Угол DOA = 180° - 2 * угол ODA.
• 27. Так как BC || AD, то угол COB = угол DOA (как соответственные углы при параллельных хордах и секущей, проходящей через центр, что неверно).
• 28. Вернемся к дугам:
• 29. Так как BC || AD, то дуга AC = дуга BD.
• 30. Равные дуги стягиваются равными хордами.
• 31. Следовательно, AD = BC.

Доказано.