Вариант 2. 4. * В разностороннем треугольнике большая сторона составляет 75% суммы двух других. Точка M, принадлежащая этой стороне, является концом биссектрисы треугольника. Найдите расстояние от точки M до меньшей стороны треугольника, если меньшая высота треугольника равна 4 см.

Обозначим большую сторону через \(a\), а две другие — через \(b\) и \(c\). Тогда \(a=0.75(b+c)\). Меньшая высота опущена на большую сторону, поэтому площадь треугольника равна \(S=\frac12a\cdot4=2a\).

Пусть биссектриса проведена из вершины, противоположной стороне \(a\), и пересекает её в точке M. По теореме о биссектрисе отрезок на стороне \(a\), прилежащий к стороне длины \(c\), составляет долю \(c/(b+c)\) от всей стороны. Площадь треугольника, образованного этим отрезком и вершиной у стороны \(c\), равна \(S\cdot c/(b+c)\). Его высота к стороне длины \(c\) — это расстояние от M до этой стороны:

\(d=\frac{2S\cdot c/(b+c)}{c}=\frac{2S}{b+c}=\frac{4a}{b+c}\).

Подставляя \(a=0.75(b+c)\), получаем \(d=4\cdot0.75=3\) см. Такое же расстояние получается до другой боковой стороны, в том числе до меньшей из них.

Ответ: 3 см.