Вариант №2. 5. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Если все боковые грани наклонены к основанию под одинаковым углом, проекция вершины пирамиды — центр вписанной окружности основания. Пусть радиус этой окружности равен \(r\). По формуле Герона площадь основания: \(S_{осн}=\sqrt{16\cdot4\cdot6\cdot6}=48\) см²; полупериметр равен 16 см, поэтому \(r=48/16=3\) см.

При угле наклона 45° высота каждой боковой грани к стороне основания равна \(r/\cos45^\circ=3\sqrt2\) см. Тогда площадь боковой поверхности равна \(\frac12\cdot(12+10+10)\cdot3\sqrt2=48\sqrt2\) см².

Ответ: \(48\sqrt2\) см².