Вариант 2. Задача 3. Постройте график функции y = -x² - 4x + 5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Решение:
1. Преобразуем функцию к виду y = -(x + a)^2 + b, выделив полный квадрат:
y = -x^2 - 4x + 5 = -(x^2 + 4x) + 5 = -(x^2 + 4x + 4) + 4 + 5 = -(x + 2)^2 + 9
Это парабола с вершиной в точке (-2, 9), ветви направлены вниз.

2. a) Область определения: x ∈ (-∞, +∞) (все действительные числа).
Область значения: y ∈ (-∞, 9] (так как вершина в точке 9 и парабола направлена вниз).

3. б) Нули функции: решаем уравнение -x^2 - 4x + 5 = 0
Умножим на -1: x^2 + 4x - 5 = 0
D = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36
x1 = \(-4 + \sqrt{36}\) / (2 * 1) = (-4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1
x2 = \(-4 - \sqrt{36}\) / (2 * 1) = (-4 - 6) / 2 = -10 / 2 = -5
Нули функции: x = 1 и x = -5

4. в) Промежутки знакопостоянства:
- y > 0 при x ∈ (-5, 1) (парабола выше оси x)
- y < 0 при x ∈ (-∞, -5) U (1, +∞) (парабола ниже оси x)

5. г) Промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает при x ∈ (-∞, -2) (до вершины параболы)
- Функция убывает при x ∈ (-2, +∞) (после вершины параболы)

6. д) Наибольшее значение функции: y = 9 (в вершине параболы).
Наименьшего значения функция не имеет, так как она неограниченно убывает при x -> +∞ и x -> -∞.