Вариант 2, Задание 4. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 6, а меньшая боковая сторона 2√3. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 120°.

Пошаговое решение:

• Обозначим трапецию ABCD, где AB — меньшее основание (6 см), BC — боковая сторона, CD — большее основание. Так как трапеция прямоугольная, то углы при основании AD равны 90°.
• Пусть ∠BCD = 120°. Тогда ∠ADC = 180° - 120° = 60°.
• Меньшая боковая сторона в прямоугольной трапеции — это высота. Следовательно, высота h = BC = 2√3 см.
• Проведем высоту из вершины B к основанию CD, обозначим точку пересечения H. Тогда BH = BC = 2√3 см, и AB = HC = 6 см.
• В прямоугольном треугольнике BHC:
• tg(∠BCH) = BH / HC (Это неверно, угол 120 градусов)
• Рассмотрим вариант, где тупой угол 120° при основании CD. Пусть ∠D = 120°. Тогда ∠A = 90°, ∠B = 90°, ∠C = 180° - 120° = 60°.
• Тогда меньшее основание AD = 6. Боковая сторона AB = 2√3.
• Проведем высоту из вершины D к основанию BC. Обозначим точку пересечения K. Тогда DK = AB = 2√3.
• В прямоугольном треугольнике DKC:
• tg(∠C) = DK / KC
• tg(60°) = 2√3 / KC
• √3 = 2√3 / KC
• KC = 2√3 / √3 = 2 см.
• Тогда большее основание BC = BK + KC = AD + KC = 6 + 2 = 8 см.
• Площадь трапеции = (AD + BC) / 2 * AB = (6 + 8) / 2 * 2√3 = 14 / 2 * 2√3 = 7 * 2√3 = 14√3 см².
• Рассмотрим случай, когда меньшее основание равно 6, а меньшая боковая сторона 2√3. Пусть угол при большем основании равен 120°.
• Пусть основания a=6, b (большее). Высота h = 2√3. Угол при большем основании 120°.
• Проведем высоту из вершины верхнего основания к нижнему. Получим прямоугольный треугольник. Угол при нижнем основании будет 180 - 120 = 60°.
• tg(60°) = h / ( (b-a)/2 ) (это для равнобедренной)
• tg(60°) = h / x, где x - часть большего основания.
• √3 = 2√3 / x => x = 2.
• Тогда большее основание b = a + 2x = 6 + 2*2 = 10.
• Площадь = (a+b)/2 * h = (6+10)/2 * 2√3 = 16/2 * 2√3 = 8 * 2√3 = 16√3.
• Если меньшая боковая сторона - это наклонная, тогда высота будет меньше.
• Пусть a = 6 (меньшее основание), b (большее основание). Угол при основании 120°. Высота h. Меньшая боковая сторона 2√3.
• Если 2√3 — наклонная боковая сторона, а угол между ней и большим основанием 120°, то угол при меньшем основании — 90°.
• Тогда угол между наклонной и большим основанием 120°.
• Проведем высоту из вершины верхнего основания. Отрезок, отсекаемый высотой на большем основании, будет x.
• tg(180° - 120°) = h / x => tg(60°) = h / x => √3 = h / x.
• sin(180° - 120°) = h / 2√3 => sin(60°) = h / 2√3 => √3/2 = h / 2√3 => h = (√3/2) * 2√3 = 3.
• x = h / √3 = 3 / √3 = √3.
• Тогда большее основание b = a + x = 6 + √3.
• Площадь = (a+b)/2 * h = (6 + 6 + √3)/2 * 3 = (12 + √3)/2 * 3 = (36 + 3√3)/2.
• Вернемся к первому варианту: прямоугольная трапеция. Меньшее основание 6. Меньшая боковая сторона (и высота) 2√3. Угол при большем основании 120°.
• Пусть основания a=6, b. Высота h=2√3. Угол при основании 120°.
• Пусть мы имеем прямоугольную трапецию ABCD, AB || CD. AB=6. BC=2√3. ∠C = 120°. Тогда ∠D = 90°, ∠A = 90°.
• Проведем высоту из B к CD. Пусть точка пересечения H. BH = AD (высота). AB = CH = 6.
• В треугольнике BCH: ∠BHC = 90°. ∠C = 180° - 120° = 60°.
• tg(60°) = BH / CH => √3 = BH / 6 => BH = 6√3.
• Тогда AD = 6√3. Большее основание CD = CH + HD = 6 + AD = 6 + 6√3.
• Площадь = (AB+CD)/2 * BH = (6 + 6 + 6√3)/2 * 6√3 = (12 + 6√3)/2 * 6√3 = (6 + 3√3) * 6√3 = 36√3 + 3*3*6 = 36√3 + 54.
• Рассмотрим другой вариант: Меньшее основание 6. Меньшая боковая сторона 2√3. Угол 120°.
• Пусть меньшее основание a = 6. Меньшая боковая сторона = высота h = 2√3. Угол при большем основании 120°.
• Проведем высоту из вершины верхнего основания к нижнему. Отрезок x.
• tg(180° - 120°) = h / x => tg(60°) = 2√3 / x => √3 = 2√3 / x => x = 2.
• Большее основание b = a + x = 6 + 2 = 8.
• Площадь = (a+b)/2 * h = (6+8)/2 * 2√3 = 14/2 * 2√3 = 7 * 2√3 = 14√3.

Ответ: 14√3