Вариант 3. 5. Докажите, что значение выражения 1/(2√7 − 1) − 1/(2√7 + 1) есть число рациональное.

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac1{2\sqrt7-1}-\frac1{2\sqrt7+1}=\frac{(2\sqrt7+1)-(2\sqrt7-1)}{(2\sqrt7-1)(2\sqrt7+1)}.\]

В числителе получаем \(2\), а в знаменателе — разность квадратов: \((2\sqrt7)^2-1=28-1=27\). Следовательно, значение выражения равно \(\frac2{27}\), то есть является рациональным числом.