Вариант 4. 3. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения $\left(\frac{3}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}$ не зависит от $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 4. 3. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $25-a^2=(5-a)(5+a)$, $a^2-10a+25=(5-a)^2$. Перемножим первые две дроби на $(5-a)^2/2$:

\[\left(\frac{3}{(5-a)(a+5)}+\frac{1}{(5-a)^2}\right)\frac{(5-a)^2}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{3(5-a)}{a+5}+1\right)=\frac{10-a}{a+5}.\]

Прибавим оставшуюся дробь: $\frac{10-a}{a+5}+\frac{3a}{a+5}=\frac{10+2a}{a+5}=2$, так как $a\ne-5$.

Ответ: значение выражения постоянно и равно 2.

Вариант 4. 3. Докажите, что при всех значениях \(a\ne\pm5\) значение выражения \(\left(\frac{3}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}\) не зависит от \(a\).