Вариант 45. 1. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС = 104, HC = 26 и ∠ACB = 75°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

1. Находим длину отрезка АН. АС = 104, HC = 26. Значит, АН = АС - HC = 104 - 26 = 78.
2. Находим длину стороны ВС. В прямоугольном треугольнике BHC:
   sin(∠ACB) = BH / BC
   cos(∠ACB) = HC / BC
   BC = HC / cos(∠ACB) = 26 / cos(75°)
   cos(75°) = cos(45° + 30°) = cos(45°)cos(30°) - sin(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = (√6 - √2) / 4 ≈ 0.2588
   BC = 26 / 0.2588 ≈ 100.46
3. Находим длину медианы ВМ. Медиана ВМ делит сторону АС пополам, значит, AM = MC = AC / 2 = 104 / 2 = 52.
   Используем теорему Аполлония для треугольника ABC и медианы BM:
   AB² + BC² = 2(BM² + AM²)
   Для нахождения AB²: В прямоугольном треугольнике ABH: AB² = AH² + BH²
   BH = HC * tan(75°) = 26 * tan(75°)
   tan(75°) = tan(45° + 30°) = (tan45° + tan30°)/(1 - tan45°tan30°) = (1 + 1/√3)/(1 - 1/√3) = (√3+1)/(√3-1) = (√3+1)² / ((√3-1)(√3+1)) = (3 + 2√3 + 1) / (3 - 1) = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3 ≈ 3.732
   BH = 26 * 3.732 ≈ 97.032
   AB² = 78² + 97.032² ≈ 6084 + 9415.2 ≈ 15499.2
   BC² ≈ 100.46² ≈ 10092.2
   15499.2 + 10092.2 = 2(BM² + 52²)
   25591.4 = 2(BM² + 2704)
   12795.7 = BM² + 2704
   BM² = 12795.7 - 2704 = 10091.7
   BM ≈ 100.46
4. Находим угол АМВ. Рассмотрим треугольник ВМС. Стороны: BM ≈ 100.46, MC = 52, BC ≈ 100.46.
   Так как BM = BC, треугольник ВМС равнобедренный.
   Угол ∠BMC = ∠BCM = ∠ACB = 75°.
   Угол АМВ является смежным углу ВМС.
   Угол АМВ = 180° - ∠BMC = 180° - 75° = 105°.

Ответ: 105°