Вариант 5. 2. ABCD — прямоугольник, P_ABCD = 42. Найти стороны прямоугольника. На рисунке E — середина AB (AE = EB), ∠AED = 90°.

Обозначим \(AE=EB=x\), а высоту прямоугольника \(AD=y\). Тогда \(AB=2x\). Поскольку \(AE\perp ED\), треугольник AED прямоугольный, и \(ED^2=x^2+y^2\).

Так как E — середина AB, точки A и B симметричны относительно перпендикуляра, проведённого через E. Поэтому \(ED=EC\). Из прямого угла AED и равенства треугольников AED и BEC следует, что угол BEC также прямой; значит, треугольник AEC прямоугольный при E.

В прямоугольном треугольнике AEC гипотенуза \(AC=\sqrt{(2x)^2+y^2}\). Однако условие перпендикулярности ED и AE вместе с прямоугольностью ABCD лишь приводит к \(ED=EC\), что выполняется для любого прямоугольника с E — серединой AB: обе длины равны \(\sqrt{x^2+y^2}\). Периметр даёт только \(2(2x+y)=42\), то есть \(2x+y=21\). Этого недостаточно, чтобы однозначно определить x и y.

Ответ: определить стороны однозначно нельзя — задан только периметр; необходима ещё одна независимая длина или соотношение сторон.