Вариант 51. 1) Дано: ABCD — прямоугольник; ∠ABD больше ∠CBD на 20°. Найти углы треугольника AOD. 2) Из вершины тупого угла ромба проведён перпендикуляр к его стороне, делящий эту сторону пополам. Найдите углы ромба.

1) Вершинный угол прямоугольника при B прямой, поэтому ∠ABD + ∠CBD = 90°. Обозначим ∠CBD за \(x\); тогда ∠ABD = \(x+20°\).

\(x+(x+20°)=90°\), откуда \(x=35°\), а ∠ABD = 55°.

Диагональ AC образует с AD такой же угол, как BD с BC, поэтому ∠OAD = 35°. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, значит, \(OA=OD\); треугольник AOD равнобедренный, и ∠ADO = 35°. Тогда ∠AOD = \(180°-35°-35°=110°\).

Ответ к 1): углы треугольника AOD — 35°, 35° и 110°.

2) Пусть перпендикуляр опущен из вершины тупого угла на сторону ромба и делит её пополам. Обозначим сторону ромба через \(s\), а угол ромба через \(\alpha\). Проекция стороны на направление перпендикулярно пересекаемой стороне равна половине стороны; следовательно, \(|\cos\alpha|=\frac12\). Так как \(\alpha\) тупой, \(\cos\alpha=-\frac12\), откуда \(\alpha=120°\). Соседний угол равен \(180°-120°=60°\).

Ответ к 2): 60° и 120°.