Вариант 52. 1) Дано: ABCD — прямоугольник; ∠ABD : ∠CDB = 4:5. Найти углы треугольника AOB. 2) Сторона ромба в два раза больше перпендикуляра, проведённого к ней из вершины тупого угла. Найдите углы ромба.

1) Пусть ∠ABD = \(4x\), а ∠CDB = \(5x\). В прямоугольнике AB параллельна CD, а BD — секущая, поэтому эти углы равны: \(4x=5x\). Это невозможно для положительного x. Следовательно, указанное в условии отношение 4:5 несовместимо с тем, что ABCD — прямоугольник и углы заданы именно как ∠ABD и ∠CDB. Нужно проверить, верно ли прочитаны обозначение угла или отношение; решить пункт с данными в таком виде нельзя.

2) Пусть сторона ромба равна \(s\), а длина перпендикуляра из вершины тупого угла к этой стороне — \(h\). По условию \(s=2h\). В прямоугольном треугольнике, образованном стороной ромба и перпендикуляром, синус острого угла при вершине равен отношению катета \(h\) к гипотенузе \(s\): \(\sin\beta=h/s=1/2\), значит, \(\beta=30°\). Тупой угол ромба смежен с этим острым углом и равен \(180°-30°=150°\).

Ответ к 2): 30° и 150°.