Вариант А1. Задача 3. Дано: AB = 24 см; CB = 16 см; AM = 9 см; BN = 10 см. Доказать: MN || AC.

Чтобы доказать, что MN || AC, нужно показать, что \( \triangle MBN \) подобен \( \triangle ABC \). Для этого проверим пропорциональность соответствующих сторон: \begin{itemize} \item \( \frac{BM}{BA} = \frac{BA - AM}{BA} = \frac{24 - 9}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \) \item \( \frac{BN}{BC} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \) \end{itemize} Так как \( \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{5}{8} \) и угол \( \angle B \) общий для обоих треугольников, то \( \triangle MBN \) подобен \( \triangle ABC \) по первому признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов, в частности \( \angle BMN = \angle BAC \). Эти углы являются соответственными при прямых MN и AC и секущей AB. Равенство соответственных углов является признаком параллельности прямых. Следовательно, MN || AC. Доказано.