Вариант А2. Задача 3. Дано: AO = 15 см; BO = 8 см; AC = 27 см; DO = 10 см. Доказать: ABCD – трапеция.

Чтобы доказать, что ABCD - трапеция, нужно показать, что одна пара сторон параллельна. В данном случае, покажем, что BC || AD. Для этого рассмотрим треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \) и проверим пропорциональность сторон: \begin{itemize} \item \( \frac{BO}{DO} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \) \item \( \frac{CO}{AO} = \frac{AC - AO}{AO} = \frac{27 - 15}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \) \end{itemize} Так как \( \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} \) и углы \( \angle BOC \) и \( \angle DOA \) равны как вертикальные, то \( \triangle BOC \) подобен \( \triangle DOA \) по первому признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов, в частности \( \angle OBC = \angle ODA \). Эти углы являются накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей BD. Равенство накрест лежащих углов является признаком параллельности прямых. Следовательно, BC || AD. Так как BC || AD, то четырехугольник ABCD является трапецией. Доказано.