Вариант Б2. 1. Найдите критические точки функции: а) \(f(x)=x^4+4x^3+4x^2+1\); б) \(f(x)=\sin\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2\sqrt2}-\pi\).

а)

\(f'(x)=4x^3+12x^2+8x=4x(x^2+3x+2)=4x(x+1)(x+2)\).

Критические точки: \(x=-2\), \(x=-1\), \(x=0\).

Значения функции:

\(f(-2)=1\), \(f(-1)=2\), \(f(0)=1\).

Ответ: \((-2;1)\), \((-1;2)\), \((0;1)\).

б)

\[f'(x)=\frac12\cos\frac{x}{2}+\frac1{2\sqrt2}.\]

Условие критической точки:

\[\cos\frac{x}{2}=-\frac1{\sqrt2}.\]

Отсюда

\[\frac{x}{2}=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\quad\text{или}\quad\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\]

поэтому

\[x=\frac{3\pi}{2}+4\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{2}+4\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Ответ: \(x=\dfrac{3\pi}{2}+4\pi k\) или \(x=\dfrac{5\pi}{2}+4\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).