Вариант Б2, 2. Сечение конуса, проведённое через его вершину, пересекает боковую поверхность по образующим, угол между которыми равен β, а основание — по хорде, стягивающей дугу α и удалённой от центра основания на расстояние d. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Обозначим радиус основания через \(r\), образующую через \(l\), высоту через \(h\). Считаем, что \(\alpha\) — центральный угол меньшей дуги, в радианах; при задании в градусах синусы ниже понимаются для половин углов.

Расстояние от центра основания до хорды равно \(d\), поэтому половина хорды равна \(\sqrt{r^2-d^2}\). Угол при вершине сечения равен \(\beta\), следовательно, половина хорды также равна \(l\sin(\beta/2)\).

Поскольку хорда стягивает дугу \(\alpha\), её длина равна \(2r\sin(\alpha/2)\). Приравнивая половины хорды, получаем \(l\sin(\beta/2)=r\sin(\alpha/2)\), то есть \(l=r\frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\beta/2)}\).

Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом к середине хорды, высотой конуса и расстоянием \(d\), имеем \(h^2=r^2-d^2\). Также \(l^2=h^2+r^2\). Обозначим \(q=\frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\beta/2)}\), тогда \(l=qr\), и \(q^2r^2=2r^2-d^2\). Значит, \(r=\frac{d}{\sqrt{2-q^2}}\).

Полная площадь поверхности: \(S=\pi r^2+\pi rl\). Поэтому

\[S=\frac{\pi d^2(1+q)}{2-q^2},\qquad q=\frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\beta/2)}.\]

Формула применима при существовании невырожденного конуса, в частности при \(2-q^2>0\).

Ответ: \(\displaystyle S=\frac{\pi d^2(1+q)}{2-q^2}\), где \(q=\frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\beta/2)}\).