Вариант I. 6. На координатной плоскости проведите прямую MN через точки M(-4;-2) и N(5;4) и отрезок KD, соединяющий точки K(-9;4) и D(-6;-8). Найдите координаты точки пересечения прямой MN и отрезка KD.

Сначала найдем уравнения прямых, содержащих MN и KD, а затем найдем точку их пересечения.

1. Найдем уравнение прямой MN.
   Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).
2. Найдем коэффициент k для прямой MN:
3. \[ k_{MN} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-2)}{5 - (-4)} = \frac{4+2}{5+4} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]
4. Подставим координаты одной из точек (например, N(5;4)) и k в уравнение прямой, чтобы найти b:
5. \[ 4 = \frac{2}{3} \times 5 + b \]
6. \[ 4 = \frac{10}{3} + b \]
7. \[ b = 4 - \frac{10}{3} = \frac{12}{3} - \frac{10}{3} = \frac{2}{3} \]
8. Уравнение прямой MN:
9. \[ y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} \]
10. Найдем уравнение прямой KD.
11. Найдем коэффициент k для прямой KD:
12. \[ k_{KD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-8 - 4}{-6 - (-9)} = \frac{-12}{-6+9} = \frac{-12}{3} = -4 \]
13. Подставим координаты одной из точек (например, K(-9;4)) и k в уравнение прямой, чтобы найти b:
14. \[ 4 = -4 \times (-9) + b \]
15. \[ 4 = 36 + b \]
16. \[ b = 4 - 36 = -32 \]
17. Уравнение прямой KD:
18. \[ y = -4x - 32 \]
19. Найдем точку пересечения, приравняв уравнения прямых:
20. \[ \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} = -4x - 32 \]
21. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дробей:
22. \[ 2x + 2 = -12x - 96 \]
23. Соберем x влево, числа вправо:
24. \[ 2x + 12x = -96 - 2 \]
25. \[ 14x = -98 \]
26. Найдем x:
27. \[ x = \frac{-98}{14} = -7 \]
28. Теперь найдем y, подставив x = -7 в одно из уравнений (возьмем уравнение прямой KD):
29. \[ y = -4(-7) - 32 \]
30. \[ y = 28 - 32 \]
31. \[ y = -4 \]
32. Проверим, принадлежит ли точка пересечения отрезку KD. Координаты K(-9;-8) и D(-6;-8). x=-7 находится между -9 и -6. y=-4 находится между -8 и -8. Стоп! Координата y у K и D не совпадает, это не горизонтальный отрезок. Я ошиблась при расчете.
33. Пересчитываем уравнение прямой KD:
34. K(-9;4) и D(-6;-8)
35. \[ k_{KD} = \frac{-8 - 4}{-6 - (-9)} = \frac{-12}{-6+9} = \frac{-12}{3} = -4 \]
36. Подставим координаты точки K(-9;4):
37. \[ 4 = -4 \times (-9) + b \]
38. \[ 4 = 36 + b \]
39. \[ b = 4 - 36 = -32 \]
40. Уравнение прямой KD:
41. \[ y = -4x - 32 \]
42. Приравняем уравнения:
43. \[ \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} = -4x - 32 \]
44. \[ 2x + 2 = -12x - 96 \]
45. \[ 14x = -98 \]
46. \[ x = -7 \]
47. Найдем y:
48. \[ y = -4(-7) - 32 = 28 - 32 = -4 \]
49. Координаты точки пересечения: (-7, -4).
50. Проверим, лежит ли точка (-7,-4) на отрезке KD.
51. Для отрезка KD, x должен быть между -9 и -6 (включительно), а y между -8 и 4 (включительно).
52. Координата x = -7 находится в пределах [-9, -6].
53. Координата y = -4 находится в пределах [-8, 4].
54. Значит, точка пересечения принадлежит отрезку KD.

Ответ: (-7; -4)